En el primer apartado, sobre todo en su segunda mitad se encuentran problemas bastante difíciles. En el segundo apartado, destinado para un lector apasionado por la geometría, la dificultad de los problemas crece, aunque también aquí cada párrafo empieza con problemas de introducción relativamente simples. Los criterios más importantes empleados al elegir los problemas fueron: el carácter natural de la enunciación, la solución por medio de la geometría, el carácter inesperado del resultado y la originalidad del problema. Pese a la clasificación en lo fundamental según el objeto que figura en el problema, el autor no intentó sistematizar los problemas por tipos y métodos de solución, por su pertenencia a uno u otro apartado de la geometría.
El presente manual está dirigido a los estudiantes de las facultades matemáticas y fisicomatemáticas de las Escuelas Normales Superiores para las especialidades «Matemática» y «Matemática y física» y, además, para la especialidad «Física y matemática». Está confeccionado en correspondencia con el programa en vigor «Prácticas de resolución de problemas». Al trabajar en las «Prácticas» tendíamos a que en ellas encontraran su reflejo los tipos fundamentales de problemas geométricos escolares. En el presente libro hay cerca de 1 000 problemas, de diversa complejidad para la resolución individual. Junto con problemas comparativamente sencillos, con carácter de entrenamiento, hay problemas cuya resolución requiere serias reflexiones y, en ocasiones, enfoque no estándar.
La aparición de la presente colección de problemas de álgebra superior es el resultado de las clases llevadas en la Universidad estatal de Leningrado y en el Instituto Pedagógico. El libro está destinado a los estudiantes de los cursos inferiores de las universidades e institutos pedagógicos para el estudio del curso fundamental, de álgebra superior. Los problemas de la colección se dividen notablemente en dos tipos. Por una parte, se ha recopilado una gran cantidad de ejercicios numéricos, destinados a elaborar hábitos de cálculo, y los cuales ilustran las reglas principales del curso teórico. Según opinan los autores, la cantidad de ejercicios propuestos es suficiente para llevar las clases, deberes de casa y trabajos de control. Por otra parte, se expone una cantidad considerable de problemas no muy difíciles, y otros difíciles, cuya solución exige de los estudiantes ahínco e iniciativa. Muchos de los problemas de esta categoría van acompañados, de indicaciones, incluidas en la segunda parte del libro. Los números de los problemas para los cuales se dan indicaciones, vienen marcados con un asterisco. Se dan soluciones de todos los problemas; para algunos de ellos se expone la resolución.
Este trabajo reúne un material minuciosamente seleccionado y analizado, lo que permite al autor revelar de una manera implícita las regularidades y los rasgos más característicos del desarrollo de las matemáticas. La estructura de la obra contribuye a una mejor interpretación de los siguientes problemas:
-
¿Cuál es el objeto de estudio de la historia de las matemáticas y que métodos se utilizan para las investigaciones científicas históricas?
-
¿Como se desarrolla el proceso de formación de las representaciones matemáticas y los hábitos de trabajo, utilizando medios matemáticos?
-
¿Cuando y como se han formado las primeras teorías matemáticas y cual ha sido la influencia de las mismas en el ulterior desarrollo de esta ciencia?
-
¿Acerca de las matemáticas elementales y los procedimientos del análisis matemático de los problemas de carácter discreto.
-
¿Cómo los matemáticos han dominado el arte de la simulación con modelos continuos y, en general, del análisis infinitesimal.
-
Acerca de las transformaciones de las matemáticas en el siglo XVIII en transcurso el cual se formaron las premisas de los fundamentos clásicos de las matemáticas modernas.
-
De cómo en las matemáticas del siglo XIX y comienzos del XX se ha formado el sistema de conceptos e ideas aceptado en la actualidad.
-
Breve nociones acerca del desarrollo de las matemáticas en Rusia y en la URSS.
-
Este libro, sin duda, será leído con gusto por mucha gente, en especial por los estudiantes de centros de enseñanza superior que se interesan por las matemáticas.
En este libro se relata sobre los problemas combinatorios en forma entretenida, de divulgación. No obstante, en éste se analizan algunos problemas combinatorios bastante complejos, se da un concepto sobre los métodos de las relaciones de recurrencia y las funciones generatrices. El primer capítulo del libro está dedicado a las reglas generales de la combinatoria: a las reglas de suma y de producto. En el segundo capítulo se estudian los arreglos, permutaciones y combinaciones. Este material escolar tradicional va acompañado del análisis de algunos ejemplos entretenidos. En el capítulo III estudiamos los problemas combinatorios en los que se imponen unas u otras limitaciones a las combinaciones en cuestión. En el capítulo IV se consideran los problemas sobre la partición de números y se relata sobre los métodos geométricos en la combinatoria. El capítulo V está dedicado a problemas sobre los desplazamientos aleatorios y a distintas modificaciones En el capítulo VI se relata sobre las relaciones de recurrencia, y en el VII, sobre las funciones generatrices y, en particular, sobre la fórmula binómica. En el libro hay un apéndice que contiene más de 400 problemas combinatorios.
En este libro se expone el curso de álgebra superior que representa una de las disciplinas fundamentales de la ciencia matemática moderna. El curso de álgebra superior consta fundamentalmente de dos secciones. Una de ellas, el álgebra lineal, está dedicada al estudio de las ecuaciones de primer grado. La segunda, el álgebra de los polinomios, al estudio de una ecuación de una incógnita, pero de grado superior. El material del libro se expone de una manera clara y a un elevado nivel científico. Para ayudar a asimilar mejor los conceptos matemáticos, al final de cada sección se dan ejemplos y problemas con resoluciones detalladas.
En el libro se han reunido problemas matemáticos propuestos a los graduados de las escuelas secundarias de la URSS en los exámenes de ingreso al Instituto Físico-Técnico de Moscú. A pesar de que los problemas propuestos en este libro no exigen conocimientos fuera de los límites del programa de la escuela secundaria corriente, la mayor parte del libro la constituyen problemas con cierto grado de dificultad. El libro contiene más de 650 problemas. Para todos ellos se exponen las resoluciones. Este libro tiene como objetivo profundizar los conocimientos de los que se preparan para ingresar a un centro de enseñanza superior. El presente libro no sólo prepara a los lectores para la resolución de problemas más difíciles, sino que les inculca la afición al pensamiento matemático.
Iván Matvéevich Vinográdov es uno de los matemáticos más célebres de hoy día. El desarrollo de la teoría analítica de los números en la URSS durante los últimos 50 años está relacionado estrechamente con el nombre de Vinográdov y su escuela. Es difícil indicar problemas de la teoría analítica de los números a los cuales Vinográdov no haya prestado atención alguna. Por otra parte, algunos de los problemas por él resueltos ya habían sido planteados hace más de 150 años sin haber tenido solución a pesar de los esfuerzos realizados por los científicos más notables del mundo. Por ejemplo, los problemas de Waring y Goldbach.
El trabajo contiene una breve exposición teórica y un gran número de problemas que contribuyen a la asimilación creadora de la teoría y a la consolidación de hábitos prácticos. Se acentúan más aquellos problemas cuya comprensión profunda y completa adquiere una importancia especial en el estudio de matemáticas superiores. Los primeros cuatro capítulos del libro de texto “números reales”, “expresiones algebraicas”, “ecuaciones y desigualdades algebraicas” y “potencias y logaritmos” abarcan el material que se estudia en la facultad preparatoria en el transcurso del primer semestre. Durante el segundo semestre se estudian los siguientes capítulos del presente trabajo: “Trigonometría”, “Funciones y sus gráficas”, “Ecuaciones con una incógnita”, “Desigualdades con una incógnita”, “Límite de una secuencia y límite de una función”. Los dos últimos capítulos son complementarios. Ofrecemos este libro a los estudiantes de las facultades preparatorias de los centros de enseñanza superior. También puede ser útil a los estudiantes y profesores, así como a los autodidactas.
Esta colección de problemas dedicados a los estudiantes que cursan análisis matemático en centros de enseñanza técnica superior. No contiene la teoría ni las fórmulas necesarias, el lector las encontrará en los capítulos respectivos del manual de análisis matemático. La mayoría de los problemas está subdividida en grupos, lo que facilita el trabajo con este libro. A los grupos de problemas de contenido homogéneo precede una indicación general. Todos los problemas de contenido físico van acompañados de las nociones necesarias sobre la física. El libro contiene un apéndice: Tablas de las magnitudes de algunas funciones elementales. El autor analiza un total de 4 465 problemas.
Manual de Geometría Analítica para los estudiantes de las escuelas técnicas superiores. Comprende el curso completo de Geometría Analítica plana y del espacio. Al final de cada capítulo se dan ejercicios y problemas con sus soluciones, los cuales facilitan el conocimiento de los métodos principales de resolución de problemas prácticos. Este libro goza de gran fama entre los estudiantes y profesores de las Escuelas Superiores de la Unión Soviética.
El libro contiene mas de 1000 problemas y ejercicios del curso de geometría diferencial para las universidades y se compone de las siguientes partes vector- función, curvas planas, curvas espaciales, superficies; método del nivel movible en la teoría de superficies, propiedades métricas y afines de curvas y superficies, campos vectoriales. Se indican las respuestas a muchos de los problemas, para los más difíciles se incluyen indicaciones o la resolución detallada. En su exposición los autores tratan de vincular el curso de geometría diferencial con los de otras disciplinas matemáticas. Se emplean esencialmente el álgebra lineal, el análisis matemático y las ecuaciones diferenciales. Se presta especial atención a la relación con los cursos de geometría de la enseñanza media y de geometría analítica. Al final del libro se incluye un índice de materias. La obra está destinada a los estudiantes de las facultades de física y matemática de los institutos de enseñanza superior.
El libro contiene los problemas fundamentales del curso de álgebra lineal, así como sus distintas aplicaciones, incluyendo la investigación de las curvas y superficies de segundo orden, la noción sobre tensores y otros problemas. En el libro se exponen los conceptos primordiales referentes a los espacios lineales y euclidianos, y a las transformaciones lineales; además se estudian problemas sobre vectores y se obtiene la forma canónica de las matrices de las transformaciones autoconjugada y ortogonal en el espacio euclidiano, dándose ejemplos básicos de la teoría de las formas cuadráticas.
El objetivo de este manual consiste en prestar ayuda concreta a los estudiantes en el desarrollo de los hábitos para resolver problemas matemáticos del curso escolar de álgebra y trigonometría. La presencia del material teórico y ejemplos analizados detalladamente ofrece la posibilidad de utilizar el manual por aquellos que estudian dicho curso individualmente.
El Álgebra Lineal es una rama de las Matemáticas tan Antigua como la propia Matemática. El problemas de la solución de la Ecuación Lineal ax + b = 0 puede ser considerado como el problema primario del Álgebra Lineal. Aunque este problema no representa dificultad alguna, el método de su solución, así como las propiedades de la Función Lineal correspondiente y = ax + b, son los modelos de partida para las ideas y los métodos de toda el Álgebra Lineal. Por ejemplo, la teoría de la solución de un sistema de Ecuaciones con varias incógnitas se basa en la idea de la sustitución del sistema dado por una cadena de Ecuaciones del tipo indicado y de forma más sencilla.
En el presente libro se estudia la teoría de las transformaciones conformes y sus aplicaciones a los problemas de la aproximación de las funciones por polinomios. Se exponen las funciones armónicas y subarmónicas y se da el significado de las funciones analíticas en la hidromecánica. También se estudia las funciones de forma acotada y las funciones enteras y meromorfas. Se introduce el concepto de superficie de Riemman y el de olongación analítica.
En el presente libro se estudian problemas de contorno para las ecuaciones elípticas, así como el problema de Cauchy y problemas mixtos para las ecuaciones hiperbólicas y parabólicas de segundo orden. Es de amplio uso el concepto de solución generalizada. Para leer el libro basta dominar las bases de las matemáticas en los límites del programa para los dos primeros años de las facultades mecánico-matemáticos o físicas universitarias o de los institutos donde se prevé una elevada preparación matemática. Toda la información concerniente al análisis funcional y la teoría de espacios funcionales, incluido el teorema de inmersión de Sóbolev, se expone en la obra.
Este libro es el último de la serie “Matemáticas superiores”. Contiene las siguientes partes: ecuaciones diferenciales ordinarias; integrales múltiples; análisis vectorial; series e integral de Fourier; ecuaciones de la física matemática; teoría de las funciones de variable compleja; calculo operacional. En cada capitulo, la exposición de los temas se efectúa de tal modo, que se formulan de inmediato los conceptos fundamentales. En lo que respecta a las demostraciones formales de los teoremas, como regla, se realizan al final de los respectivos capítulos o parágrafos. Este libro está dedicado a los estudiantes de los institutos técnicos de enseñanza superior, siendo también de utilidad a los docentes y estudiantes de postgrado.
Se basa en las conferencias de Geometría diferencial que el autor dictó en la Facultad de Física y Matemáticas de la Universidad de Járkov. El autor se propuso exponer rigurosamente los fundamentos de la Geometría diferencial y sus métodos típicos de investigación sin alterar considerablemente las tradiciones existentes. Muchas cuestiones concretas de Geometría diferencial aparecen en forma de ejercicios y problemas y la solución de éstos es una condición indispensable de la preparación de los estudiantes geómetras.
En las etapas iniciales, la enseñanza de la Geometría tiene por objeto, además de comunicar a los alumnos los resultados geométricos, darles a conocer el método con ayuda del cual se obtienen esos resultados. Sabido es que los resultados geométricos (teoremas) son obtenidos por medio de razonamientos lógicos (demostraciones) arrancando de algunos planteamientos de partida (axiomas). Los razonamientos lógicos son parte indispensable de todo saber. La Geometría se distingue por la claridad y la sencillez tanto en el enunciamiento del resultado como en los planteamientos de arranque a partir de los cuales debe obtenerse ese resultado. De ahí que la Geometría nos brinde las mejores oportunidades para desarrollar el pensamiento.
Todos aquellos quien hoy día emplean en su trabajo métodos matemáticos se encuentran con la necesidad de resolver problemas de carácter combinatorio. A los problemas de tal índole se reducen, por ejemplo, investigaciones de los circuitos eléctricos y esquemas electrónicos, de los sistemas de organización y dirección de la producción, de los flujos de transporte e información, de la construcción y explotación de la mayor parte de los ordenadores y varios otros. El manual en consideración tiene por objeto ayudar a dominar la técnica de resolución de los problemas combinatorios y los hábitos de investigación de los problemas teóricos correspondientes. Están incluidos en él cerca de 1 000 problemas y ejercicios. La mayoría abrumadora de ellos viene dotada de respuestas, soluciones o indicaciones referentes a su resolución.
Los matemáticos, ingenieros, así como los especialistas en otras ramas de la ciencia, saben que al solucionar los problemas prácticos, con más frecuencia se ven obligados a ocuparse de las estructuras discretas. Entre éstas citemos grafos, matrices, esquemas –bloque, redes eléctricas, flujos de transporte, sistemas de organización de la producción, flujos de información y muchos otros. Además, como es sabido, el funcionamiento de la mayoría de ordenadores se basa en el principio del cálculo directo. El presente libro ofrece al lector los fundamentos de esta teoría que mantiene el título históricamente formado, análisis matemático.
Se da la argumentación matemática de la geometría euclídea, las geometrías no euclídeas de Lobachevski y Riemann, la geometría proyectiva, la geometría de Minkovski y las cuestiones geométricas de la teoría especial de la relatividad y una noción general de las formas topológicas de la geometría de curvatura constante. La obra se divide en tres partes. El material principal se expone en las dos primeras. El de la tercera contiene las nociones fundamentales de la geometría de curvatura constante, ellas pueden ser aprovechadas en los trabajos de los círculos matemáticos y seminarios.
El propósito de este libro consiste en enseñar a razonar sobre la solución lógica de los problemas; empezar por hacerse uno mismo la pregunta ¿Por qué? y contestar a ella en cada momento de la solución. Hay que estar consciente de lo que se ha hecho y lo que debe hacerse. En otras palabras, los autores tratan de enseñar a los estudiantes cómo resolver los problemas. Es necesario subrayar que este libro no contiene un curso completo, sino que es un auxiliar para aquellos que ya conocen el curso escolar de matemáticas y quieren profundizar sus conocimientos.
Los problemas comprendidos en esta obra están dedicados a las nociones del álgebra de cálculo moderna: normas de las matrices, seudosoluciones de sistemas de ecuaciones lineales, etc. La estructura del presente manual se atiene estrictamente a la del Álgebra lineal de V. Voevodin, aunque con cambios insignificantes. Al resolver los problemas aducidos aquí también se puede consultar la obra de A. Kúrosch Curso de álgebra superior. Las dos obras mencionadas contienen la clave para la resolución de estos problemas.
En el presente curso de análisis matemático se expone tanto los métodos clásicos tradicionales, como los modernos que han surgido en el transcurso de las últimas décadas. Los números reales se introducen axiomáticamente. Este camino permite exponer la información sobre los números, imprescindible para el análisis, en una forma más completa y compacta. Una gran atención se presta en el libro a la resolución de problemas con ayuda de procedimientos basados en la teoría que se expone. Además, se recomienda al lector, a título de trabajo individual ver una serie de ejercicios y problemas, con solución de problemas es muy útil para la asimilación activa del análisis matemático.
Este libro está destinado a los estudiantes que estudian matemáticas en los centros de enseñanza superior técnicos. Contiene gran número de problemas, ejemplos y ejercicios que ilustran el material teórico. Numerosos ejemplos y ejercicios revelan las relaciones que tienen la matemáticas con otras disciplinas de la ciencia. El segundo tomo comprende los capítulos 13 – 19 en que se examinan los siguientes problemas: ecuaciones diferenciales, integrales múltiples, integrales curvilíneas, integrales por las superficies, series, series de Fourier, ecuaciones de la física matemática y cálculo operacional.
Este libro es un manual para los estudiantes de los centros de enseñanza técnica media. En él se exponen las siguientes asignaturas de las matemáticas superiores: geometría analítica en el plano, elementos del cálculo diferencial, elementos del cálculo integral, ecuaciones diferenciales, derivación de funciones de varias variables, desarrollo de funciones en series de potencias. La última parte del libro contiene más de 800 problemas y ejercicios dispuestos en el mismo orden que el material teórico.
El Curso de Álgebra y Funciones Elementales del Prof. R.A. Kalnin expone en forma muy didáctica todo el programa de Álgebra que se enseña en la Educación Media, con algunos agregados, como ser Elementos de la Teoría de los Límites y un inicio de Cálculo Diferencial.
Esta obra es un texto de estudio, basado en el curso dictado por el autor en la facultad de mecánica y matemática de la Universidad de Moscú "Lomonósov". El libro se estructura en dos partes. En la primera, denominada "Fundamentos del Álgebra", se estudian los siguientes temas: matrices, determinantes, estructuras algebraicas, números complejos, polinomios y raíces de polinomios; en la segunda, bajo el título "Grupos, Anillos y módulos", se desarrollan las correspondientes teorías, así como un grupo de problemas teóricos específicos. Además, en esta obra pueden encontrarse algunas "exquisiteces" tales como la presentación del teorema de Sílov, los grupos lineales invariantes, aplicaciones de grupos de rotaciones y cuestiones sobre álgebra no asociativa; lo que sin duda despertará interés entre los especialistas en la materia.